Objetivos

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Estudiar las bases teóricas y técnicas de los procesos estocásticos que permitan comprender las ideas y el alcance del Cálculo Estocástico con énfasis en la teoría financiera.

Invitar al alumno a los métodos del aprendizaje profundo por medio de los algoritmos de entrenamiento relacionados con la aproximación estocástica: gradiente estocástico.

Estudiar algunas de las principales hipótesis en finanzas relacionadas con el Movimiento Browniano así como su interacción con la definición formal de integral de Ito.

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Temario del curso I

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1. Martingalas

Nociones básicas de espacios de probabilidad y variables aleatorias

Esperanza condicional y filtraciones

Definiciones básicas de Martingalas

Primeros ejemplos: caso discreto

Desigualdad de Doob y su interpretación financiera

Ley de los grandes números para Martingalas

Relación con las cadenas de Markov y los teoremas ergódicos

Urnas de Polya

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2. Redes neuronales y aproximación estocástica

Algoritmo del Perceptrón clásico

Algoritmo del gradiente descendiente estocástico para el Perceptrón

Redes neuronales en general

Gradiente estocástico en general

Relación con martingalas y Algoritmos de Aproximación Estocástica

Aproximación Estocástica en General





3. Movimiento Browniano

Definición formal

Procesos Gaussianos y camitas aleatorias

Propiedad de Markov

Integral de Wiener y relación con la integral estocástica

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Temario del curso II



1. Introducción a las matemáticas de los productos derivados

Caso de estudio: modelo de un periodo

Modelo simplificado

Ausencia de oportunidad

Interpretación geométrica y probabilista

Un caso con N periodos

Relación con martingalas

Fórmula discreta de Black-Scholes



2. Integral estocástica

Definición formal

Propiedades y primeros ejemplos

Martingala local

Procesos de Ito

Lema fundamental de Ito



3. Aplicaciones y relaciones con el aprendizaje profundo